Logarithmic differentiation

[25/100%]

Show

LaTeX

Show LaTeX

Problem 884 from Demidovich B.P. "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" [Dem97]More problems in Section 2.1 "Derivatives of Explicit Functions"

Find the derivative of the following function: $y=\left(\dfrac {a}{b}\right)^{x} \cdot \left(\dfrac {b}{x}\right)^{a} \cdot \left(\dfrac {x}{a}\right)^{b} \ (a>0, b>0)$ .

Problem 961 from Demidovich B.P. "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" [Dem97]More problems in Section 2.1 "Derivatives of Explicit Functions"

Find the derivative of the following function: $y=x+x^{x}+x^{x^{x}} \ (x>0)$ .

Problem 962 from Demidovich B.P. "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" [Dem97]More problems in Section 2.1 "Derivatives of Explicit Functions"

Find the derivative of the following function: $y=x^{x^{a}}+x^{a^{x}}+a^{x^{x}} \ (a>0, x>0)$ .

Problem 963 from Demidovich B.P. "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" [Dem97]More problems in Section 2.1 "Derivatives of Explicit Functions"

Find the derivative of the following function: $y=\sqrt[x]{x} \quad (x>0)$ .

Problem 964 from Demidovich B.P. "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" [Dem97]More problems in Section 2.1 "Derivatives of Explicit Functions"

Find the derivative of the following function: $y=(\sin x)^{\cos x}+(\cos x)^{\sin x}$ .

Problem 965 from Demidovich B.P. "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" [Dem97]More problems in Section 2.1 "Derivatives of Explicit Functions"

Find the derivative of the following function: $y=(\ln x)^{x} \div x^{\ln x}$ .

Problem 984 from Demidovich B.P. "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" [Dem97]More problems in Section 2.1 "Derivatives of Explicit Functions"

(a)(b)(c)(d)

The derivative obtained from the logarithm of a known function is called the logarithmic derivative of that function:

\frac{d}{dx}\ln f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)} .

Given the function $y$ , find its logarithmic derivative:

(a)

$y=x\sqrt{\dfrac {1-x}{1+x}}$ ;

(b)

$y=\dfrac {x^{2}}{1-x}\sqrt[3]{\dfrac {3-x}{(3+x)^{2}}}$ ;

(c)

$y=(x-a_{1})^{\alpha_{1}}(x-a_{2})^{\alpha_{2}}\cdots (x-a_{n})^{\alpha_{n}}$ ;

(d)

$y=\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{n}$ .

Problem 1074 from Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. "Сборник задач по высшей математике" [ГюКу03]More problems in Section 3.4 "Finding Derivatives"

Find the derivative of the function $y = x^{x}$ .

Problem 1075 from Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. "Сборник задач по высшей математике" [ГюКу03]More problems in Section 3.4 "Finding Derivatives"

Find the derivative of the function $y = x^{\sin x}$ .

Problem 1.13.141 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Find the derivative of the function. $y = x^{x}$ .

Problem 1.13.142 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Find the derivative of the function. $y = x^{7 / \ln x}$ .

Problem 1.13.143 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Find the derivative of the function. $y = \log_{x} 7$ .

Problem 1.13.144 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Find the derivative of the function. $y = \log_{2} x \cdot \log_{x} e+\log_{2} x \cdot \ln 2$ .

Problem 1.13.145 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Find the derivative of the function. $y = x^{2 / \ln x}-2 x^{\log_{x} e} e^{1+\ln x}+e^{1+2 / \log_{x} e}$ .

Problem 1.13.146 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Find the derivative of the function. $y = x^{x^{2}}$ .

Problem 1.13.147 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Find the derivative of the function. $y = x^{e^{x}}$ .

Problem 1.13.148 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Find the derivative of the function. $y = 2^{x^{x}}$ .

Problem 1.13.149 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Find the derivative of the function. $y = x^{x^{x}}$ .

Problem 1.13.150 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Find the derivative of the function. $y = |\sin x|^{\cos x}$ .

Problem 1.13.151 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Find the derivative of the function. $y = \left(\arcsin \sin^{2} x\right)^{\operatorname {arctg} x}$ .

Problem 1.13.152 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Find the derivative of the function. $y = (\operatorname {ch} x)^{e^{x}}$ .

Problem 1.13.164 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Compute the derivative of the function at the indicated points. $y = (\operatorname {ch} x)^{\operatorname {sh} x}, x = 0$ .

Problem 1.13.165 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Compute the derivative of the function at the indicated points. $y = \left(\sqrt{1+3^{x}}\right)^{\ln x^{2}}, x = 1$ .

Problem 1.13.166 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

Compute the derivative of the function at the indicated points. $y = ((\sin x) / x)^{x}, x = \pi / 2$ .

Problem 1.13.169 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Предел. Непрерывность. Дифференцируемость." [ККЧ+03]More problems in Subsection 1.13.2 "Problems"

(1)(2)(3)(4)

Let $f(x), x \in \mathbb {R}$ , and $g(x), x \in \mathbb {R}$ , be everywhere differentiable functions. Find $y^{\prime }(x)$ if:

(1)

$y = \sqrt[n]{f^{2}(x)+g^{2}(x)}, f^{2}(x)+g^{2}(x) > 0$

(2)

$y = \ln \left|f(x) / g(x)\right|, \quad f(x) g(x) \neq 0$ ;

(3)

$y = f\left(\sin^{2} x\right)+g\left(\cos^{2} x\right)$ ;

(4)

$y = (f(x))^{g(x)}, f(x) > 0$ .

References

[Dem97] Demidovich B.P. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 13-е изд., Издательство Московского университета / Издательство "ЧеРо", 1997.

[ГюКу03] Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. 13-е изд., Издательство «Лань», 2003.

[ККЧ+03] Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. 2-е изд., ФИЗМАТЛИТ, 2003.