Gaussian-type integrals via contour shifting

[2/100%]
Show
LaTeX
Problem 6.19 from Шабунин М.И., Половинкин Е.С., Карлов М.И. "Сборник задач по теории функций комплексного переменного" [ШПК15]More problems in Section 6 "Cauchy's Theorem. The Cauchy-Type Integral."

It is known from analysis that ∫−∞∞e−x2dx=π\int_{-\infty }^{\infty } e^{-x^{2}} d x = \sqrt{\pi }. Compute the integral

∫−∞∞e−x2cos⁡αxdx,−∞<α<∞ \int _{-\infty }^{\infty } e^{-x^{2}} \cos \alpha x d x, \quad -\infty < \alpha < \infty
?
Problem 6.20 from Шабунин М.И., Половинкин Е.С., Карлов М.И. "Сборник задач по теории функций комплексного переменного" [ШПК15]More problems in Section 6 "Cauchy's Theorem. The Cauchy-Type Integral."

Compute the integral ∫0+∞e−ix2dx\int_{0}^{+\infty } e^{-i x^{2}} d x.

?

References

[ШПК15] Шабунин М.И., Половинкин Е.С., Карлов М.И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. 4-е изд., БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015.