Calculating special determinants

$\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 2\end{smallmatrix}\right]$;

$\left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 3 & 2 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 3 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 3\end{smallmatrix}\right]$;

$\left[\begin{smallmatrix} 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 2 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 3\end{smallmatrix}\right]$;

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 3 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 5 & 3 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 5 & 3 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 2 & 5\end{smallmatrix}\right]$;

$\left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 2 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 2 & 3\end{smallmatrix}\right]$;

$\left[\begin{smallmatrix} \alpha +\beta & \alpha \beta & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & \alpha +\beta & \alpha \beta & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \alpha +\beta & \alpha \beta & \ldots & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & \alpha +\beta \end{smallmatrix}\right]$;

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 2 & 2^{2} & \ldots & 2^{n} \\ 1 & 3 & 3^{2} & \ldots & 3^{n} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \\ 1 & n+1 & (n+1)^{2} & \ldots & (n+1)^{n}\end{smallmatrix}\right]$;

$\left[\begin{smallmatrix} a^{n} & (a-1)^{n} & \ldots & (a-n)^{n} \\ a^{n-1} & (a-1)^{n-1} & \ldots & (a-n)^{n-1} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a & a-1 & \ldots & a-n \\ 1 & 1 & \ldots & 1\end{smallmatrix}\right]$;

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & \ldots & 1 \\ x_{1}+1 & \ldots & x_{n}+1 \\ x_{1}^{2}+x_{1} & \ldots & x_{n}^{2}+x_{n} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ x_{1}^{n-1}+x_{1}^{n-2} & \ldots & x_{n}^{n-1}+x_{n}^{n-2}\end{smallmatrix}\right]$;

$\left[\begin{smallmatrix} a_{1}^{n} & a_{1}^{n-1} b_{1} & a_{1}^{n-2} b_{1}^{2} & \ldots & b_{1}^{n} \\ a_{2}^{n} & a_{2}^{n-1} b_{2} & a_{2}^{n-2} b_{2}^{2} & \ldots & b_{2}^{n} \\ \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n+1}^{n} & a_{n+1}^{n-1} b_{n+1} & a_{n+1}^{n-2} b_{n+1}^{2} & \ldots & b_{n+1}^{n}\end{smallmatrix}\right]$;

$\left\lvert \, \begin{array}{cccccccc}1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \ldots & x_{1}^{s-1} & x_{1}^{s+1} & \ldots & x_{1}^{n} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \ldots & x_{2}^{s-1} & x_{2}^{s+1} & \ldots & x_{2}^{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end{array}\right.$.

$\left[\begin{smallmatrix} 1+x_{1} & 1+x_{1}^{2} & \ldots & 1+x_{1}^{n} \\ 1+x_{2} & 1+x_{2}^{2} & \ldots & 1+x_{2}^{n} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \\ 1+x_{n} & 1+x_{n}^{2} & \ldots & 1+x_{n}^{n}\end{smallmatrix}\right]$;

$\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & x & \ldots & x & x \\ 1 & x & 0 & \ldots & x & x \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & x & x & \ldots & 0 & x \\ 1 & x & x & \ldots & x & 0\end{smallmatrix}\right]$;

$\left[\begin{smallmatrix} a & x & x & \ldots & x \\ y & a & x & \ldots & x \\ y & y & a & \ldots & x \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ y & y & y & \ldots & a\end{smallmatrix}\right]$.