Mellin-Barnes integral identities

[4/0%]
Show
LaTeX
Problem 5457 from Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. "Сборник задач по высшей математике" [ГюКу03]More problems in Section 14.3 "Residues and Their Applications"

Prove the identity 12πi∫a−∞ia+∞iΓ(s)z−s ds=e−z\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \Gamma (s)z^{-s}\, ds = e^{-z}; a>0a > 0; Re(z)>0\mathrm{Re}\left(z\right) > 0.

?
Remark.
?

Use the theorem:

lim⁡∣s∣→∞(ln⁡Γ(s)−(s−12)ln⁡s+s−12ln⁡2π)=0, \lim _{\left|s\right|\to \infty }\left(\ln \Gamma (s)-\left(s-\frac{1}{2}\right)\ln s+s-\frac{1}{2}\ln 2\pi \right) = 0,

if ss lies to the right of any given vertical line.

Problem 5458 from Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. "Сборник задач по высшей математике" [ГюКу03]More problems in Section 14.3 "Residues and Their Applications"

Prove the identity

12πi∫a−∞ia+∞ixss ds={1,if x>1;0,if x<1;a>0. \frac{1}{2\pi i}\int _{a-\infty i}^{a+\infty i} \frac{x^{s}}{s}\, ds = \begin{cases} 1, & \text{if } x > 1; \\ 0, & \text{if } x < 1; \end{cases} \qquad a > 0.
?
Problem 5459 from Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. "Сборник задач по высшей математике" [ГюКу03]More problems in Section 14.3 "Residues and Their Applications"

Prove the identity

12πi∫a−∞ia+∞ixss2 ds={ln⁡x,if x>1;0,if x<1;a>0. \frac{1}{2\pi i}\int _{a-\infty i}^{a+\infty i} \frac{x^{s}}{s^{2}}\, ds = \begin{cases} \ln x, & \text{if } x > 1; \\ 0, & \text{if } x < 1; \end{cases} \qquad a > 0.
?
Problem 5460 from Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. "Сборник задач по высшей математике" [ГюКу03]More problems in Section 14.3 "Residues and Their Applications"

Prove the identity

12πi∫a−∞ia+∞ixs+2s(s+1)(s+2) ds={(x−1)22,if x>1;0,if x<1;a>0. \frac{1}{2\pi i}\int _{a-\infty i}^{a+\infty i} \frac{x^{s+2}}{s(s+1)(s+2)}\, ds = \begin{cases} \dfrac {(x-1)^{2}}{2}, & \text{if } x > 1; \\ 0, & \text{if } x < 1; \end{cases} \qquad a > 0.
?

References

[ГюКу03] Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. 13-е изд., Издательство «Лань», 2003.