Incomplete gamma function

[3/100%]
Show
LaTeX
Problem 2.23.31 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Интегралы. Ряды." [ККЧ+03]More problems in Subsection 2.23.2 "Problems"

Find the asymptotic expansion of the incomplete gamma function

Γ(s;x)=∫x+∞ts−1e−tdt,x>0 \Gamma (s ; x) = \int _{x}^{+\infty } t^{s-1} e^{-t} d t, \quad x > 0
?
Problem VI.2.20 from Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" [МГЛ+04]More problems in Section VI.2 "Laplace's Method"

Prove that ∫0xtxe−tdt∼x→+∞12Γ(1+x)\int_{0}^{x} t^{x} e^{-t} d t \underset {x \rightarrow +\infty }{\sim } \frac{1}{2} \Gamma (1+x).

?
Remark.
?

Here Γ\Gamma is Euler's Γ\Gamma-function

Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt,x>0. \Gamma (x)=\int _{0}^{+\infty } t^{x-1} e^{-t} d t, \quad x>0 .
Problem VI.2.21 from Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" [МГЛ+04]More problems in Section VI.2 "Laplace's Method"

Let φ\varphi be a positive function defined on (0,+∞)(0,+\infty ). Prove that as x→+∞x \rightarrow +\infty

?
(a)

φ(x)−xx→0⟺1Γ(1+x)∫0φ(x)txe−tdt→12\frac{\varphi (x)-x}{\sqrt{x}} \rightarrow 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{\Gamma (1+x)} \int_{0}^{\varphi (x)} t^{x} e^{-t} d t \rightarrow \frac{1}{2};

(b)

φ(x)−xx→+∞⟺1Γ(1+x)∫0φ(x)txe−tdt→1\frac{\varphi (x)-x}{\sqrt{x}} \rightarrow +\infty \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{\Gamma (1+x)} \int_{0}^{\varphi (x)} t^{x} e^{-t} d t \rightarrow 1;

(c)

φ(x)−xx→−∞⟺1Γ(1+x)∫0φ(x)txe−tdt→0\frac{\varphi (x)-x}{\sqrt{x}} \rightarrow -\infty \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{\Gamma (1+x)} \int_{0}^{\varphi (x)} t^{x} e^{-t} d t \rightarrow 0.

Remark.
?

Here Γ\Gamma is Euler's Γ\Gamma-function

Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt,x>0. \Gamma (x)=\int _{0}^{+\infty } t^{x-1} e^{-t} d t, \quad x>0 .

References

[ККЧ+03] Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Интегралы. Ряды. 2-е изд., ФИЗМАТЛИТ, 2003.
[МГЛ+04] Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. Избранные задачи по вещественному анализу. 2-е изд., Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004.