Hankel's contour integral for 1/Gamma

[1/0%]
LaTeX
Problem 24.11 from Шабунин М.И., Половинкин Е.С., Карлов М.И. "Сборник задач по теории функций комплексного переменного" [ШПК15]More problems in Section 24 "Integrals Reducible to the Gamma Function"

Prove the formula

12πi∫Γet⋅t−zdt=1Γ(z), \frac{1}{2 \pi i} \int _{\Gamma } e^{t} \cdot t^{-z} d t = \frac{1}{\Gamma (z)},

where Γ\Gamma is the positively oriented boundary of the domain

{t:∣t∣>ρ,∣arg⁡t∣<π−η},(0⩽η⩽π2) \left\{ t:\left|t\right| > \rho , \quad \left|\arg t\right| < \pi -\eta \right\} , \quad \left(0 \leqslant \eta \leqslant \frac{\pi }{2}\right)
?

References

[ШПК15] Шабунин М.И., Половинкин Е.С., Карлов М.И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. 4-е изд., БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015.