Digamma function and Euler's constant

[6/67%]
Show
LaTeX
Problem 5534 from Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. "Сборник задач по высшей математике" [ГюКу03]More problems in Section 14.5 "Expansion of Functions into Partial Fractions"

Prove the identity:

Γ′(s)Γ(s)=−C−1s+∑n=1∞(1n−1n+s). \frac{\Gamma '(s)}{\Gamma (s)} = -C-\frac{1}{s}+\sum _{n=1}^{\infty } \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+s}\right).
?
Problem 5535 from Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. "Сборник задач по высшей математике" [ГюКу03]More problems in Section 14.5 "Expansion of Functions into Partial Fractions"

Prove the identity:

(Γ′(s)Γ(s))′=∑ν=0∞1(s+ν)2. \left(\frac{\Gamma '(s)}{\Gamma (s)}\right)' = \sum _{\nu =0}^{\infty } \frac{1}{(s+\nu )^{2}}.
?
Problem 3.16.16 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Функции многих переменных" [ККЧ+03]More problems in Subsection 3.16.2 "Problems"

Express the integral in terms of the gamma function

∫0+∞xpe−αxln⁡xdx,α>0,p>−1 \int _{0}^{+\infty } x^{p} e^{-\alpha x} \ln x d x, \quad \alpha > 0, \quad p > -1
?
Problem V.1.31 from Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" [МГЛ+04]More problems in Section V.1 "Improper Integrals of Functions of One Variable"

Compute the integral ∫0∞ln⁡xexdx\int_{0}^{\infty } \frac{\ln x}{e^{x}} d x.

?
Remark.
?

The answer is expressed in terms of Euler's constant γ\gamma (see Problem II.2.8).

Problem V.1.32 from Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" [МГЛ+04]More problems in Section V.1 "Improper Integrals of Functions of One Variable"

Compute the integral ∫0∞ln⁡2xexdx\int_{0}^{\infty } \frac{\ln^{2} x}{e^{x}} d x.

?
Remark.
?

The answer is expressed in terms of Euler's constant γ\gamma (see Problem II.2.8).

Problem 8.260 from Pólya G., Szegő G. "Problems and Theorems in Analysis" [PóSz98]More problems in Section 2 "Miscellaneous Problems"

If the Euler (Mascheroni) constant C=−Γ′(1)C=-\Gamma '(1) were a rational number, then Γ′(n+1)\Gamma '(n+1) would have to be an integer for all integers nn from some point onward.

?

References

[ГюКу03] Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. 13-е изд., Издательство «Лань», 2003.
[ККЧ+03] Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Функции многих переменных. 2-е изд., ФИЗМАТЛИТ, 2003.
[МГЛ+04] Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. Избранные задачи по вещественному анализу. 2-е изд., Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004.
[PóSz98] Pólya G., Szegő G. Problems and Theorems in Analysis. Springer, 1998.