Lindelöf property and separability of subsets of R^n

[1/100%]
Show
LaTeX
Problem I.1.24 from Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" [МГЛ+04]More problems in Section I.1 "Sets"

Let E⊂R2E \subset \mathbb {R}^{2}. Prove that

?
(a)

if a family of open disks {Bα}α∈A\left\{ B_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A} is such that E⊂⋃α∈ABαE \subset \bigcup_{\alpha \in A} B_{\alpha }, then there exists an at most countable set A0⊂AA_{0} \subset A such that E⊂⋃α∈A0BαE \subset \bigcup_{\alpha \in A_{0}} B_{\alpha };

(b)

there exists an at most countable subset of the set EE whose closure contains EE.

References

[МГЛ+04] Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. Избранные задачи по вещественному анализу. 2-е изд., Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004.