Poisson's formula for surface integrals over a sphere

[1/0%]
LaTeX
Problem 3.11.14 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Функции многих переменных" [ККЧ+03]More problems in Subsection 3.11.2 "Problems"

Prove the Poisson formula

∬Sf(ax+by+cz)dS=2π∫−11f(a2+b2+c2t)dt \iint _{S} f(a x+b y+c z) d S = 2 \pi \int _{-1}^{1} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} t\right) d t

where f(t),∣t∣⩽a2+b2+c2f(t),\left|t\right| \leqslant \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}, is a continuous function, SS is the sphere x2+y2+z2=1x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1.

?

References

[ККЧ+03] Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Функции многих переменных. 2-е изд., ФИЗМАТЛИТ, 2003.