Integrals with a periodic factor

[16/69%]

Show

LaTeX

Show LaTeX

Problem 4595 from Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. "Сборник задач по высшей математике" [ГюКу03]More problems in Section 11.2 "Mean Value Theorems. Improper Integrals"

Prove that if the integral $\int_{0}^{\infty } f(x)\, dx$ is absolutely convergent, then

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{\infty } f(x) \left|\sin nx\right|\, dx = \frac{2}{\pi } \int _{0}^{\infty } f(x)\, dx .

Problem 4777 from Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. "Сборник задач по высшей математике" [ГюКу03]More problems in Section 11.8 "Miscellaneous Problems"

Prove the inequality: $\int_{0}^{\infty } f(x) \sin ax\, dx > 0$ , if $f(x)$ is a decreasing function; $a > 0$ and the integral converges.

Problem 4778 from Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. "Сборник задач по высшей математике" [ГюКу03]More problems in Section 11.8 "Miscellaneous Problems"

Prove the inequality: $\int_{0}^{\infty } f(x) \sin ax\, dx > 0$ , if $f(x)$ is a decreasing function and the integral converges.

Problem 2.23.7 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Интегралы. Ряды." [ККЧ+03]More problems in Subsection 2.23.2 "Problems"

Find an elementary function asymptotically equal, as $x \rightarrow +\infty$ , to the integral

\int _{1}^{x} \frac{\sin ^{4} t}{t} d t

Problem 2.23.12 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Интегралы. Ряды." [ККЧ+03]More problems in Subsection 2.23.2 "Problems"

Prove: if a nonnegative, continuous function $f$ , not identically zero, has period $T$ for $t > 1$ :

f(t+T) = f(t), \quad T > 0

then

\int _{1}^{x} \frac{f(t)}{t} d t \sim A \ln x, \quad x \rightarrow +\infty , \quad A = \text{ const. }

Problem 2.23.13 from Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. "Интегралы. Ряды." [ККЧ+03]More problems in Subsection 2.23.2 "Problems"

Prove that

\int _{1}^{x} \frac{\ln \left(1+\cos ^{2} t\right)}{t} d t \sim B \ln x, \quad x \rightarrow +\infty , \quad B = \text{ const. }

Problem V.1.16 from Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" [МГЛ+04]More problems in Section V.1 "Improper Integrals of Functions of One Variable"

(a)(b)

(a)

Prove that for a bounded function $f$ decreasing to zero as $x \rightarrow +\infty$ , the integrals

\int _{0}^{\infty }\left|\sin x\right| f(x) d x \quad \text{ and } \quad \int _{0}^{\infty } f(x) d x

converge or diverge simultaneously.

(b)

Verify that in the two-dimensional case the analogue of this statement is false:

\int _{0}^{\infty } \int _{0}^{\infty } \frac{\left|\sin x\right||\sin y|}{e^{x y} \ln (x+y+2)} d x d y<+\infty , \quad \text{ but } \quad \int _{0}^{\infty } \int _{0}^{\infty } \frac{d x d y}{e^{x y} \ln (x+y+2)}=+\infty

Problem V.1.20 from Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" [МГЛ+04]More problems in Section V.1 "Improper Integrals of Functions of One Variable"

Let $\varphi$ be a continuous $2 \pi$ -periodic function. Prove that the integral

\int _{\pi }^{\infty } \frac{\varphi (x) d x}{\ln x+\cos x}

converges only if $\varphi$ is an odd function.

Problem VI.1.12 from Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" [МГЛ+04]More problems in Section VI.1 "Asymptotics of Integrals"

Let the function $\varphi$ be continuous on $\mathbb {R}$ and have period $T>0$ , with $C_{\varphi }=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \varphi (t) d t \neq 0$ . Prove that

\int _{1}^{+\infty } \frac{\varphi (t)}{t^{1+\varepsilon }} d t \sim \frac{C_{\varphi }}{\varepsilon } \quad \text{ as } \quad \varepsilon \rightarrow +0

Problem VI.1.17 from Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" [МГЛ+04]More problems in Section VI.1 "Asymptotics of Integrals"

Let the function $f$ decrease to zero on $[a,+\infty )$ , and let the function $\varphi$ be continuous on $\mathbb {R}$ and have period $T>0$ , with $\int_{0}^{T} \varphi (t) d t=0$ . Prove that

\left|\int _{A}^{+\infty } f(t) \varphi (t) d t\right| \leqslant f(A) \int _{0}^{T}\left|\varphi (t)\right| d t \quad \text{ for } \quad A \geqslant a

Problem VI.1.18 from Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" [МГЛ+04]More problems in Section VI.1 "Asymptotics of Integrals"

Let the function $f$ decrease to zero on $[a,+\infty )$ , and let the function $\varphi$ be continuous on $\mathbb {R}$ and have period $T>0$ . Prove that

\int _{a}^{A} f(t) \varphi (t) d t=C_{\varphi } \int _{a}^{A} f(t) d t+I+O(f(A))

where

C_{\varphi }=\frac{1}{T} \int _{0}^{T} \varphi (t) d t, \quad I=\int _{a}^{+\infty }\left(\varphi (t)-C_{\varphi }\right) f(t) d t

Problem VI.1.19 from Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" [МГЛ+04]More problems in Section VI.1 "Asymptotics of Integrals"

(a)(b)

Let the function $f$ be nonnegative and monotonic on $[a,+\infty )$ , and let the function $\varphi$ be continuous on $\mathbb {R}$ and have period $T>0$ , with $C_{\varphi }=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \varphi (t) d t \neq 0$ . Prove that

(a)

if $\int_{a}^{\infty } f(t) d t=+\infty$ and $\int_{A}^{A+1} f(t) d t=o\left(\int_{a}^{A} f(t) d t\right)$ , then

\int _{a}^{A} f(t) \varphi (t) d t \sim C_{\varphi } \int _{a}^{A} f(t) d t \quad \text{ as } \quad A \rightarrow +\infty

(b)

if $\int_{a}^{\infty } f(t) d t<+\infty$ and $\int_{A}^{A+1} f(t) d t=o\left(\int_{A}^{\infty } f(t) d t\right)$ , then

\int _{A}^{+\infty } f(t) \varphi (t) d t \sim C_{\varphi } \int _{A}^{+\infty } f(t) d t \quad \text{ as } \quad A \rightarrow +\infty

Problem VI.1.20 from Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" [МГЛ+04]More problems in Section VI.1 "Asymptotics of Integrals"

(a)(b)

Let $f \in C(\left[a, b\right]), \varphi \in C(\mathbb {R})$ . Find the limits

(a)

$\lim_{A \rightarrow +\infty } \int_{a}^{b} f(t) \varphi (A t) d t$ , if $\varphi$ has period $T>0$ ;

(b)

$\lim_{A \rightarrow +\infty } A \int_{a}^{b} f(t) \varphi (A t) d t$ , if $\int_{\mathbb {R}}\left|\varphi (t)\right| d t<\infty$ .

Problem VI.1.21 from Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" [МГЛ+04]More problems in Section VI.1 "Asymptotics of Integrals"

Let $f \in C(\left[a, b\right] \times [-1,1])$ . Prove that

I(A)=\int _{a}^{b} f(x, \sin A x) d x \underset {A \rightarrow +\infty }{\longrightarrow } \frac{1}{2 \pi } \int _{a}^{b}\left(\int _{0}^{2 \pi } f(x, \sin t) d t\right) d x

Problem VII.1.29 from Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" [МГЛ+04]More problems in Section VII.1 "Convexity"

Let the function $f$ decrease to zero on $(0,+\infty )$ and $a>0$ . Prove that $\int_{0}^{\infty } f(x) \sin a x d x \geqslant 0$ , and if $f$ is convex, then $\int_{0}^{\infty } f(x) \cos a x d x \geqslant 0$ . In both cases equality is possible only for $f \equiv 0$ .

Problem 2.118 from Pólya G., Szegő G. "Problems and Theorems in Analysis" [PóSz98]More problems in Section 2 "Improper Integrals"

Suppose that $f(x)$ is properly integrable over every finite interval and that $\int_{-\infty }^{+\infty } \left|f(x)\right| \, dx$ exists. Then we have

\lim _{n \to \infty } \int _{-\infty }^{+\infty } f(x) \sin nx \, dx = 0, \qquad \lim _{n \to \infty } \int _{-\infty }^{+\infty } f(x) \left|\sin nx\right| \, dx = \frac{2}{\pi } \int _{-\infty }^{+\infty } f(x) \, dx .

References

[ГюКу03] Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. 13-е изд., Издательство «Лань», 2003.

[ККЧ+03] Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Интегралы. Ряды. 2-е изд., ФИЗМАТЛИТ, 2003.

[МГЛ+04] Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. Избранные задачи по вещественному анализу. 2-е изд., Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004.

[PóSz98] Pólya G., Szegő G. Problems and Theorems in Analysis. Springer, 1998.